马尔可夫——传薪火于数学内外，留得身后百年声名
随机矩阵是一类特别重要的非负矩阵。差不多与马尔可夫提出他的概率模型同时，德国年轻的数学家佩隆 (Oskar Perron，1880-1975) 于1907年发表了他关于正矩阵的谱定理，即正矩阵的谱半径是它的最大特征值，且对应的特征子空间由一个正特征向量张成。他们俩好像是预先商量好似的，在有限马尔可夫链出现之时，正随机矩阵谱理论的代数兵器也正好应时制造出库。五年后，这件兵器由于资深德国数学家弗罗贝尼乌斯 (Georg Ferdinard Frobenius，1849-1917) 的精雕细琢，可以杀向更广一类的不可约非负矩阵。这些成就现在冠名为佩隆-弗罗贝尼乌斯理论。由于非负矩阵在一切与随机数学相关的研究和应用中非常重要，我和当年的合作者、科学院计算数学研究所的周爱辉博士特地写了一本书Nonnegative Matrices, Positive Operators, and Applications（非负矩阵、正算子及其应用），由新加坡世界科学出版社于2009年出版。
事实上，马尔可夫矩阵的应用范围远比随机数学宽广多了。谷歌这个最成功的网络搜索引擎，于1998年被正式创建的动因，就是它的两位创建者佩奇 (Larry Page，1973-) 和布林 (Sergey Brin，1973-) 想出来一个好点子，即依照地球上因特网各网页的相对重要程度而构造出“谷歌矩阵”以便获得便民服务的“网页排序”。这个矩阵不仅是一个马尔可夫矩阵，而且是全世界最大尺寸的矩阵。在当今网络信息高速时代，亿万网民都是这个矩阵的直接受益者。如果俄罗斯人马尔可夫、德国人佩隆和弗罗贝尼乌斯的在天之灵知道随机矩阵如此巨大地改变了世界，定会“含笑于九泉之下”。
如果我们去查一下与马尔可夫有关联的科学术语，就会发现有一大堆。在随机分析里除了最脍炙人口的马尔可夫链和马尔可夫过程外，还有马尔可夫算子，在概率论里有马尔可夫不等式，在泛函分析里有马尔可夫-角谷不动点定理和黎茨-马尔可夫-角谷表示定理，在动力系统里有马尔可夫划分，在遍历理论里有马尔可夫映射，在运筹学里有马尔可夫决策过程，在统计学里有高斯-马尔可夫定理，在量子力学里有量子马尔可夫半群，最后在多项式极值理论里有马尔可夫兄弟俩不等式，这是他和英年早逝的弟弟 (Vladimir Andreyevich Markov，1871-1897) 共同发现的。此外还有更多的标有马尔可夫大名的定理、不等式和图形等。我数了一下，英文维基上在他的条目下列出的含有Markov的数学术语超过五打。
自然，上述诸多数学词汇嵌进了马尔可夫的名字，并非一定都与马尔可夫本人直接相关，有的是该短语体现了马尔可夫所开创或发展出的一种思想或概念，这就如同求解一般非线性方程的“牛顿迭代法”并非完全是牛顿的功劳那样。在我的学术人生中，三十多年前也有一次天赐良机让我与马尔可夫的名字结下不解之缘，折射出我对他的崇敬之情。
那是在我写作博士论文的前后几个月间。之前我和其他同学选修了导师李天岩教授的一门历时一学年的应用数学高等论题课《[0, 1]上的遍历理论》，这门对我一生影响巨大的课改变了我的博士论文题目和我未来的研究领域——之前我一直在从我硕士阶段起开始起步的优化领域中学习和研究。在1989年的那个夏天，我完全沉浸在理解计算遍历理论的奠基之作、氢弹之父乌拉姆 (Stanislaw Ulam，1909-1984) 在其1960年的著作《数学问题集》中提出的“乌拉姆方法”思想之中，并深入思考能否将他的逐片常数逼近法推广到高阶方法。有趣的是乌拉姆方法也可以用马尔可夫链的语言来理解并可帮助创新研究，其中涉及的“乌拉姆矩阵”可以看成是所对应的马尔可夫链的转移矩阵。最终，我抓住了乌拉姆方法的一个特点，成功构造出高阶方法，它们保留了乌拉姆方法的精髓，但收敛到精确解则快得多。这个精髓是函数的有限维逼近保持非负可积函数的正性与积分不变，而这个性质则定义了什么是马尔可夫算子。于是，我在因此而写好的博士论文里将我“发明”的保结构算法命名为“马尔可夫有限维逼近法”，向我心中敬仰的一位外国数学家致了礼。
马尔可夫获得硕士学位留校圣彼得堡大学任教后，于1886年升为副教授，八年后出任正教授，1905年被授予功勋教授 (Merit Professor) 并获准可以退休，但是他在大学一直教书到1910年。俄罗斯科学界对他的众多学术贡献也给予了高度的评价，1890年他成为圣彼得堡科学院的候补院士，1896年，作为已在1894年11月离世的切比雪夫的接班人，马尔可夫被遴选为科学院的院士。在国内外学术界，晚年的马尔可夫广受尊敬。然而俄罗斯帝国的末代统治者沙皇和教会却不喜欢他。
为民主自由的斗士
俄罗斯民族在过去的五百年间几经兴衰。早在莫斯科大公国建立前的十三世纪，它广袤的大地曾被成吉思汗 (1162-1227) 的战马铁蹄一路践踏，之后长期处于封建落后状态。到了雄才大略奋发图强的彼得大帝 (Peter I The Great, 1672－1725）即位时，后来的首都圣彼得堡仅仅是波罗的海芬兰湾东端的一个小渔村，但这是他面向西方取经学习强国的关键通道。1712年彼得大帝从莫斯科迁都于此，他宏伟的“俄国梦”改革计划除了政治经济方面的大刀阔斧之作外，还包括仿效英国的伦敦皇家学会 (1660年建) 、法国的巴黎科学院 (1666年建) 和德国的柏林科学院（1700年建），矗立俄罗斯科学院的大厦。这是他孜孜以求的大政方针之一。终于在他闭目那年，彼得堡科学院宣告成立，很快一批国外杰出学者，如丹尼尔·伯努利 (Daniel Bernoulli，1700-1782) 和其举荐的青年英才欧拉(1707-1783) 也云集于此。到了俄罗斯另一个大帝凯瑟琳女皇 (Catherine the Great，1729-1796) 统治时期，科学院再次请来了已是欧洲最伟大数学家的欧拉。十月革命后，圣彼得堡科学院易名为苏联科学院，现称俄罗斯科学院。我们知道，上世纪苏联科学院的院士们几乎个个都是如雷贯耳的名字，数学家中就有维诺格拉多夫 (Ivan Matveevich Vinogradov，1891-1983)、柯尔莫哥洛夫、索伯列夫 (Sergei Lvovich Sobolev，1908-1989)、康特洛维奇 (Leonid Vitaliyevich Kantorovich，1912-1986)、盖尔范德 (Izrail Moiseevich Gelfand，1913-2009) 等等。
彼得大帝对于俄罗斯民族的另一大贡献在于发展高等教育。他去世前一年颁布圣旨同时创建彼得堡科学院与彼得堡大学。莫斯科大学的创办人、俄罗斯伟大的百科全书式科学家罗蒙诺索夫 (Mikhail Vasilyevich Lomonosov，1711-1765) 就曾就读于彼得堡大学。四百年来，这所大学走出了数以百计的杰出人物，切比雪夫、马尔可夫、李亚普洛夫师徒三人是其中的数学家代表。
作为彼得堡科学院的院士，马尔可夫照例应该得到政府的敬重和爱戴，因为他对祖国的科技发展有非凡的贡献，也因他为俄国赢得了世界的声誉。然而末代沙皇尼古拉二世 (Nikolai II Alexandrovich Romanov，1868-1918) 却把他视为眼中钉、肉中刺，原因是他向往民主自由、声援志士仁人。
沙皇1894年即位时，马尔可夫已48岁，做出了许多杰出的工作，他那年也被晋升为正教授。但是放眼祖国大地，政治经济环境一片萧条，人民只能苟延残喘地求生，近百年前俄国军队把拿破仑法军打得落花流水的那段辉煌历史也早已成为记忆，没几年后俄帝国就在争食中国肥肉的俄日战争中被日帝国打败。在这前后几十年内，俄国那些追求光明的知识分子和抱有先进思想的贵族人士，为自由而放歌，为民主而呐喊，伟大诗人普希金 (Alexander Sergeyevich Pushkin，1799-1837) 同情并向往十二月党人的革命活动，用他的诗歌如《自由颂》作利剑，刺向万恶的历史悠久的封建农奴制。一大批革命民主主义的作家，如莱蒙托夫 (Mikhail Yuryevich Lermontov，1814-1841) 和车尔尼雪夫斯基 (Nikolay Gavrilovich Chernyshevsky，1828-1889)，用他们的文学作品揭露腐朽的封建制度，抗议沙皇的统治。
高尔基 (Maxim Gorky，1868-1936) 这位出身贫苦的无产阶级文学家，于1901年发表了著名的《海燕之歌》。散文诗的最后一句，胜利预言家的叫喊“让暴风雨来得更猛烈些吧！”喊出了人民的心声。但是高尔基为此付出的代价是遭到流放。第二年2月，圣彼得堡科学院文学部召开了联席会议，并通过了决议，接纳被流放者为名誉院士。最高级知识分子群体对专制统治的藐视激怒了沙皇，他给国民教育大臣发布一道手谕：“高尔基当选无效。”在皇帝直接插手的巨大压力下，科学院院务委员会于3月12日只好发布取消高尔基当选资格的一纸文告。
然而，不畏强暴坚持真理的进步学者总在那里。短篇小说大师契诃夫 (Anton Pavlovich Chekhov，1960-1904) 为表示抗议，宣布退出科学院。数学家马尔可夫也挺身而出，属于数理学部的他于4月6日向院务委员会递交了如下声明：“我认为科学院关于取消高尔基当选资格的文告是无效的和被强加的；第一，文告盗用了科学院的名义，但事实上科学院并无意取消这一资格；第二，文告所借用的理由是毫无意义的。”在120年前尼古拉二世残暴统治下的俄罗斯，这是需要多大的勇气和胆魄啊！
在俄罗斯帝国灭亡前的最后十多年里，三百年的罗曼诺夫王朝已经处于摇摇欲坠之中，但是沙皇妄图以控制大学的方式，孤注一掷地设法维持其专制统治。晚年的马尔可夫除了继续他那不知疲惫的数学研究和教育外，还坚持和反动势力针锋相对地抗争。当1908年国民教育部宣布取消大学自治、开倒车恢复学监体制、封闭一切社团时，他气愤地给国民教育大臣去信，公开表达他的观点：“我最坚决地拒绝在彼得堡大学充当沙皇政府走卒的角色，但我将保留开设概率论课程的权利。”随即他就被大学当局吊销了教学资格，于是他毅然决定退休。
在沙皇时代，东正教起到了助纣为虐的精神鸦片作用。1901年东正教最高裁判所因俄国大文豪托尔斯泰 (Leo Tolstoy，1828-1910) 写下人道主义伟大小说《复活》，而在沙皇的授意下宣判他为异教徒，并开除了他的教籍，举世哗然。马尔可夫从青年时代起就倾向于无神论，并从托尔斯泰的作品获得精神养料。1912年，他致信东正教最高会议，申明“我最诚挚地请求革除我的教籍。我希望以下所摘引的本人所写的《概率演算》一书中的言论足以成为除籍的理由，因为这些言论已经充分表明我对成为犹太教和基督教义之基础的那些传说所持的反对态度。”
1913年，圣彼得堡市议会选举了九名科学家为圣彼得堡大学的荣誉成员，马尔可夫是其中的一个，但是他被选中这一事实并没有得到教育部的认可，直到1917年的二月革命后，马尔可夫才获得肯定，并恢复了教学活动，讲授概率论等，直到生命的最后一年。
作为圣彼得堡数学学派的骨干，马尔可夫一生钟情于数学及其应用，这种热爱已经化作了他对别人问及“什么是数学”这一问题的精辟回答：“数学，那就是高斯、切比雪夫、李亚普诺夫、斯捷克洛夫和我所研究的东西。”作为俄罗斯民族杰出的儿子，他一生为自由和民主而斗争，是科学家中为人民谋求幸福的典范、在黑暗中追求光明的伟大爱国者。他不是那种仅满足于个人成功、“两耳不闻窗外事”的书斋学者，而是抱有“天下兴亡匹夫有责”豪情壮志的一代学人。他不属于那一类只津津乐道于探索“无用之美”的学问家，而是继承切比雪夫衣钵将“理论联系实际”视为数学家的最高追求。他的创造发现、他的定理学说，早已化作千百万科学家和工程师手中的利器，所以，他不仅属于一百年前的俄罗斯，更是属于当今的全世界。
2022年感恩节写于
美国哈蒂斯堡夏日山庄
出品：科普中国
